Matemática básica Ejemplos

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

Paso 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Los pasos para obtener el MCM para $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $a^{2}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $a + 5, a - 5$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.6

Los factores para $a^{2}$ son $a \cdot a$ , que es $a$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.7

El MCM de $a^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$a \cdot a$

Paso 2.8

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2}$

Paso 2.9

El factor para $a + 5$ es $a + 5$ en sí mismo.

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El factor para $a - 5$ es $a - 5$ en sí mismo.

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.11

El MCM de $a + 5, a - 5$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(a + 5) (a - 5)$

Paso 2.12

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ por $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ por $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $a^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $a^{2}$ de $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.2

Expande $(a + 5) (a - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.3

Combina los términos opuestos en $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Reordena los factores en los términos $a \cdot - 5$ y $5 a$ .

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.3.2

Suma $- 5 a$ y $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.3.3

Suma $a \cdot a$ y $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $9$ por $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.7

Cancela el factor común de $(a + 5) (a - 5)$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Factoriza $(a + 5) (a - 5)$ de $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.2.2

Suma $9 a^{2}$ y $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ por $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Paso 3.3.3

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Paso 3.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Paso 3.3.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Paso 3.3.4

Mueve $5$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

Paso 3.3.5

Expande $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

Paso 3.3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

Paso 3.3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.6.1.1

Multiplica $a^{3}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.1.1.1

Multiplica $a^{3}$ por $a$ .

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Paso 3.3.6.1.1.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.3

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.1.3.1

Mueve $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.3.2

Multiplica $a$ por $a^{2}$ .

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Paso 3.3.6.1.3.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Paso 3.3.6.1.4

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

Paso 3.3.6.2

Suma $- 5 a^{3}$ y $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

Paso 3.3.6.3

Suma $a^{4}$ y $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Como $a$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

Paso 4.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $25 a^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

Paso 4.2.2

Suma $225$ a ambos lados de la ecuación.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

Paso 4.3

Resta $25 a^{2}$ de $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

Paso 4.4

Sustituye $u = a^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

Paso 4.5

Factoriza $u^{2} - 50 u + 225$ con el método AC.

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Paso 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $225$ y cuya suma es $- 50$ .

$- 45, - 5$

Paso 4.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

Paso 4.7

Establece $u - 45$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.7.1

Establece $u - 45$ igual a $0$ .

$u - 45 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $45$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 45$

Paso 4.8

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.8.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 4.8.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 45) (u - 5) = 0$ verdadera.

$u = 45, 5$

Paso 4.10

Sustituye el valor real de $u = a^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

Paso 4.11

Resuelve la primera ecuación para $a$ .

$a^{2} = 45$

Paso 4.12

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

Paso 4.12.2

Simplifica $\pm \sqrt{45}$ .

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Paso 4.12.2.1

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.12.2.1.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

Paso 4.12.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Paso 4.12.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

Paso 4.12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.12.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$a = 3 \sqrt{5}$

Paso 4.12.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$a = - 3 \sqrt{5}$

Paso 4.12.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Paso 4.13

Resuelve la segunda ecuación para $a$ .

${(a^{2})}^{1} = 5$

Paso 4.14

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 4.14.1

Elimina los paréntesis.

$a^{2} = 5$

Paso 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

Paso 4.14.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.14.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$a = \sqrt{5}$

Paso 4.14.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$a = - \sqrt{5}$

Paso 4.14.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 4.15

La solución a $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ es $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$